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Pour réussir en maths au lycée et en prépa

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MINES SUP. ANNEES 2000-2003

Mines Sup 2003

Mines Sup 2003 Toutes filières

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème

Thèmes du 2ème problème

  • Etude de la fonction t → et/(1+t2), développements limités.
  • Dérivée n-ème de la fonction t → et/(1+t2), étude d'une suite de polynômes.
  • Intégrale fonction de la borne supérieure.
  • Sous-espace vectoriel engendré par la famille de fonctions (f1 : t → et, f2 : t → e-t/2sin(t √ 3/2), f3 : t → e-t/2cos(t √ 3/2)).
  • Résolution de l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants y''+y'+y = λ et.
  • Résolution de l'équation différentielle linéaire du troisième ordre à coefficients constants y''' = y.

Mines Sup 2003 Specifique MPSI

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème

Thèmes du 2ème problème

  • Sommes trigonométriques.
  • Etude d'une suite d'intégrale.
  • 0+∞1/(1+xα)dx=π/(α sin(π/α)).
  • Définition du corps des quaternions avec des matrices carrées de format 2.
  • Calcul matriciel.
  • Produit scalaire, projection orthogonale.

Mines Sup 2002

Mines Sup 2002 Toutes filières

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème

Thèmes du 2ème problème

  • Etude de la fonction t → Arctan(t)/t, développements limités.
  • Intégrale fonction de la borne supérieure.
  • Suite du type un+1=f(un), inégalité des accroissements finis.
  • Résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre : x2y'+xy=Arctan(x).
  • Géométrie vectorielle eucilidienne en dimension 3.
  • Rotations vectorielles en dimension 3.
  • Puissances de matrices et application à la convergence d'une suite de points de l'espace de dimension 3.

Mines Sup 2002 Specifique MPSI

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème

Thèmes du 2ème problème

  • Matrices carrées de format 3 semblables à leur inverse.
  • Calcul matriciel, changement de bases.
  • Rang d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.
  • Calcul de ζ (2)=limn → + ∞(1+(1/22)+...+(1/n2)) et irrationalité de ζ (2).
  • Sommes trigonométriques.
  • Le lemme de Lebesgue : si ψ est de classe C1 sur [a,b], alors limλ → + ∞abψ(x) sin(λ x) dx=0.
  • Une fonction continue sur [a,b], de classe C1 sur ]a,b] dont la dérivée a une limite réelle en a est de classe C1 sur [a,b].

Mines Sup 2001

Mines Sup 2001 Toutes filières

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème

Thèmes du 2ème problème

  • Calcul des intégrales ∫[a,b](sin θ)2p+1(cos θ)2q+1 d θ.
  • Etude des fonctions x → xln(1-(a/x)), a ∈ ]0,+ ∞[ .
  • Etude de la suite yn=(1-(a/n))n.
  • Exponentielle d'une matrice nilpotente d'indice 3.
  • Puissances de matrices.
  • Changement de bases.
  • Formules de Taylor.

Mines Sup 2001 Specifique MPSI

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème

Thèmes du 2ème problème

  • Suites vérifiant ∀ n ∈ N, un+1=aun+P(n) où P est un polynôme.
  • Noyau et image d'une application linéaire.
  • Polynômes : une famille de polynômes dont les degrés sont deux à deux distincts est libre.
  • Etude de l'équation ∫[x,y] φ (t) dt=1 d'inconnue y, φ fonction donnée, étude de la fonction x → y(x) ainsi obtenue.

Mines Sup 2000

Mines Sup 2000 Toutes filières

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème

Thèmes du 2ème problème

  • Résolution de l'équation fonctionnelle : ∀ x ∈ R, f(2x)=2f(x)/(1+(f(x))2).
  • Etude des fonctions x → ch(x), x → sh(x) et x → th(x).
  • Développements limités.
  • Résolution de l'équation différentielle linéaire du premier ordre : xy'+3y=1/(1-x2).
  • Calcul de Πk=1n-1sin((kπ)/2n).
  • Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle.
  • Binôme de Newton : identités combinatoires.
  • Calcul matriciel, changement de bases.

Mines Sup 2000 Specifique MPSI

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème

Thèmes du 2ème problème

  • Etude de l'équation fonctionnelle : ∀ (x,y) ∈ R2, f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y).
  • Trigonométrie hyperbolique.
  • Intégrale fonction de la borne supérieure.
  • Résolution de l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants : y''=μ y, μ ∈ R.
  • Tout hyperplan de Mn(R) contient une matrice inversible.
  • Trace d'une matrice.
  • Matrices élémentaires.
  • Matrice d'une permutation.
  • Rang d'une matrice.