MINES SUP. ANNEES 2000-2003

Mines Sup 2003

Mines Sup 2003 Toutes filières

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème	Thèmes du 2ème problème
Etude de la fonction t → et/(1+t2), développements limités. Dérivée n-ème de la fonction t → et/(1+t2), étude d'une suite de polynômes. Intégrale fonction de la borne supérieure.	Sous-espace vectoriel engendré par la famille de fonctions (f1 : t → et, f2 : t → e-t/2sin(t √ 3/2), f3 : t → e-t/2cos(t √ 3/2)). Résolution de l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants y''+y'+y = λ et. Résolution de l'équation différentielle linéaire du troisième ordre à coefficients constants y''' = y.

Mines Sup 2003 Specifique MPSI

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème	Thèmes du 2ème problème
Sommes trigonométriques. Etude d'une suite d'intégrale. ∫0+∞1/(1+xα)dx=π/(α sin(π/α)).	Définition du corps des quaternions avec des matrices carrées de format 2. Calcul matriciel. Produit scalaire, projection orthogonale.

Mines Sup 2002

Mines Sup 2002 Toutes filières

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème	Thèmes du 2ème problème
Etude de la fonction t → Arctan(t)/t, développements limités. Intégrale fonction de la borne supérieure. Suite du type un+1=f(un), inégalité des accroissements finis. Résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre : x2y'+xy=Arctan(x).	Géométrie vectorielle eucilidienne en dimension 3. Rotations vectorielles en dimension 3. Puissances de matrices et application à la convergence d'une suite de points de l'espace de dimension 3.

Mines Sup 2002 Specifique MPSI

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème	Thèmes du 2ème problème
Matrices carrées de format 3 semblables à leur inverse. Calcul matriciel, changement de bases. Rang d'un endomorphisme, d'une matrice carrée.	Calcul de ζ (2)=limn → + ∞(1+(1/22)+...+(1/n2)) et irrationalité de ζ (2). Sommes trigonométriques. Le lemme de Lebesgue : si ψ est de classe C1 sur [a,b], alors limλ → + ∞∫abψ(x) sin(λ x) dx=0. Une fonction continue sur [a,b], de classe C1 sur ]a,b] dont la dérivée a une limite réelle en a est de classe C1 sur [a,b].

Mines Sup 2001

Mines Sup 2001 Toutes filières

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème	Thèmes du 2ème problème
Calcul des intégrales ∫[a,b](sin θ)2p+1(cos θ)2q+1 d θ. Etude des fonctions x → xln(1-(a/x)), a ∈ ]0,+ ∞[ . Etude de la suite yn=(1-(a/n))n.	Exponentielle d'une matrice nilpotente d'indice 3. Puissances de matrices. Changement de bases. Formules de Taylor.

Mines Sup 2001 Specifique MPSI

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème	Thèmes du 2ème problème
Suites vérifiant ∀ n ∈ N, un+1=aun+P(n) où P est un polynôme. Noyau et image d'une application linéaire. Polynômes : une famille de polynômes dont les degrés sont deux à deux distincts est libre.	Etude de l'équation ∫[x,y] φ (t) dt=1 d'inconnue y, φ fonction donnée, étude de la fonction x → y(x) ainsi obtenue.

Mines Sup 2000

Mines Sup 2000 Toutes filières

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème	Thèmes du 2ème problème
Résolution de l'équation fonctionnelle : ∀ x ∈ R, f(2x)=2f(x)/(1+(f(x))2). Etude des fonctions x → ch(x), x → sh(x) et x → th(x). Développements limités. Résolution de l'équation différentielle linéaire du premier ordre : xy'+3y=1/(1-x2).	Calcul de Πk=1n-1sin((kπ)/2n). Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle. Binôme de Newton : identités combinatoires. Calcul matriciel, changement de bases.

Mines Sup 2000 Specifique MPSI

Enoncé / Corrigé

Thèmes du 1er problème	Thèmes du 2ème problème
Etude de l'équation fonctionnelle : ∀ (x,y) ∈ R2, f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y). Trigonométrie hyperbolique. Intégrale fonction de la borne supérieure. Résolution de l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants : y''=μ y, μ ∈ R.	Tout hyperplan de Mn(R) contient une matrice inversible. Trace d'une matrice. Matrices élémentaires. Matrice d'une permutation. Rang d'une matrice.